眾所周知，電感在電機(jī)中具有重要的作用。它不僅限制電流變化速率，保護(hù)電機(jī)和其他電氣設(shè)備，還對(duì)電機(jī)的能效、功率因數(shù)和磁場(chǎng)控制起到關(guān)鍵作用。在電機(jī)設(shè)計(jì)和應(yīng)用中，合理考慮和優(yōu)化電感的選擇和設(shè)計(jì)，對(duì)于提高電機(jī)性能、降低能量損耗和實(shí)現(xiàn)高效運(yùn)行至關(guān)重要，因此，對(duì)于電感的了解和分析至關(guān)重要。

一、寫在前面

首先是一些電感的基礎(chǔ)知識(shí)，便于對(duì)后續(xù)內(nèi)容有更好的理解。

①電感定義公式

式中，μ為磁路磁導(dǎo)率，A為截面面積，N為線圈匝數(shù)，l為磁路長(zhǎng)度。

可以看出，對(duì)于一個(gè)結(jié)構(gòu)匝數(shù)確定的電感器來說，電感的大小取決于磁路的飽和狀態(tài)，也就是磁導(dǎo)率μ，磁路飽和程度越高，電感越小，反之越大。

②在線圈中通入電流，會(huì)產(chǎn)生磁場(chǎng)匝鏈線圈，用公式表示為：

③當(dāng)通入電流為交流電時(shí)，線圈產(chǎn)生的磁場(chǎng)也是交變的，交變磁場(chǎng)會(huì)感應(yīng)出電動(dòng)勢(shì)，其值為：

④當(dāng)電感線圈中通入電流時(shí)，電路表現(xiàn)為感性，感抗為：

式中，f為交流電頻率。電流頻率越大，線圈對(duì)電流的阻礙作用就越大，電流值就越小，即電感線圈通直流阻交流。

二、電感、自感、互感、漏感

電感是自感和互感的總稱，只存在單個(gè)線圈時(shí)，電感就是指自感。必須至少存在兩個(gè)線圈才能討論互感和漏感。

當(dāng)線圈中通入電流時(shí)，會(huì)產(chǎn)生磁場(chǎng)，這種反映線圈產(chǎn)生磁場(chǎng)能力強(qiáng)弱的物理量稱為自感系數(shù)，簡(jiǎn)稱自感。

當(dāng)存在兩個(gè)線圈時(shí)，其中一個(gè)線圈中電流所產(chǎn)生的磁通有一部分與第二個(gè)線圈相環(huán)鏈，產(chǎn)生互感磁鏈。這種反映一個(gè)線圈對(duì)應(yīng)一個(gè)線圈產(chǎn)生互感磁鏈能力強(qiáng)弱的物理量稱為互感系數(shù)，簡(jiǎn)稱互感。

互感系數(shù)用公式表達(dá)為：

式中，k為耦合系數(shù)，取值為0~1，0表示兩個(gè)線圈完全沒有耦合，1表示兩個(gè)線圈完美耦合；LAA和LBB為兩個(gè)線圈的自感。

當(dāng)兩個(gè)線圈沒有完美耦合時(shí)，其中一個(gè)線圈中的磁通會(huì)有一部分無法和另一個(gè)線圈相環(huán)鏈，電流產(chǎn)生的這部分磁場(chǎng)大小可以用漏感來衡量。

舉例說明：假設(shè)有匝數(shù)為NA和匝數(shù)為NB的A、B兩個(gè)線圈，分別通入電流iA和iB，則：

線圈A的總磁鏈=線圈A產(chǎn)生的自感磁鏈+線圈B對(duì)線圈A的互感磁鏈。

=線圈A對(duì)線圈B的互感磁鏈+線圈A的漏感磁鏈+線圈B對(duì)線圈A的互感磁鏈。

用公式表示為：

式中，

φA，φB為A，B線圈中的總磁通；φAA，φBB為A，B線圈自身通入電流產(chǎn)生的磁通；φBA為由線圈B產(chǎn)生并穿過線圈A的磁通；

ψA，ψB為A，B線圈中的總磁鏈；ψAA，ψBB為A，B線圈自身通入電流產(chǎn)生的磁鏈；ψBA為由線圈B產(chǎn)生并與線圈A匝鏈的磁鏈。

對(duì)于線圈A自身通入電流產(chǎn)生的磁通：

式中，

φAB為A對(duì)B的互感磁通；φγA為線圈A的漏磁通；

LAA為線圈A的自感；LM為線圈A、B之間的互感；LγA為線圈A的漏感。

三、PMSM數(shù)學(xué)模型

為建立其數(shù)學(xué)模型，先做如下假設(shè)：

①永磁材料不導(dǎo)電，磁極的磁導(dǎo)率與氣隙相同；

②忽略鐵心材料磁阻，不計(jì)及磁滯和渦流損耗；

③定子繞組對(duì)稱分布且各軸線相差120度，轉(zhuǎn)子無阻尼繞組；

④電樞反應(yīng)磁場(chǎng)和永磁體磁場(chǎng)為正弦分布，穩(wěn)態(tài)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為正弦波。

取永磁磁極勵(lì)磁磁場(chǎng)的基波分量為ψf，其與A相軸線之間的夾角用θ表示，定子繞組Y形連接，轉(zhuǎn)子以角速度ω逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。

三相磁鏈方程為：

已知L=ψ/i，因此可以通過磁鏈分析電感。由于磁鏈方程中三相磁鏈之間相互耦合，不利于對(duì)電感的分析，所以將對(duì)三相電感的分析轉(zhuǎn)化為對(duì)d、q軸電感的分析，即Ld、Lq。由于d、q之間完全解耦，d 軸磁路狀態(tài)只與 d 軸電流相關(guān)， q 軸磁路狀態(tài)只與 q 軸電流相關(guān)。可以得到，d、q軸上磁鏈和電感的關(guān)系：

電機(jī)運(yùn)行過程中受到的負(fù)載可能是不斷變化的，因此所需的電流大小和相角也是變化的，這將導(dǎo)致d、q軸磁路飽和狀態(tài)發(fā)生變化，從而使Ld、Lq發(fā)生變化。

為了更直觀地分析電流對(duì)電感的影響，將三相電流經(jīng)過Clark和Park變換，等效為id和iq，最終只需觀察id、iq的變化對(duì)Ld、Lq的影響即可。

上圖可以看到，當(dāng)單獨(dú)通d軸或q軸電流時(shí)，d、q存在共用耦合磁路的情況，因此，d（q）軸電流的變化，除了會(huì)改變自身軸的電感外，還會(huì)引起q（d）軸電感參數(shù)的變化。

（1）id=0~-10A ，iq=0

當(dāng)只通入d軸電流時(shí)，d、q軸的各項(xiàng)參數(shù)變化如下：

①永磁磁鏈：隨著id增加，永磁體磁鏈保持不變；若d軸磁路先前處于飽和狀態(tài)，隨著id增加，d軸磁路飽程度降低，永磁體磁鏈會(huì)有所增加。

②d軸磁鏈：隨著id增加，反向去磁磁鏈增加，由于永磁磁鏈保持不變，因此d軸磁鏈會(huì)減小，直至硅鋼片反向飽和。

③d軸電感Ld：隨著id增加，d軸飽和程度降低，d軸磁阻減小，Ld逐漸增大，隨著硅鋼片反向飽和，Ld又逐漸減小。

④q軸電感Lq：由于dq磁路耦合，id變化也會(huì)影響Lq：由于存在永磁磁鏈，隨著id增加，d軸磁鏈減小，dq耦合磁路的磁力線減少，q軸飽和程度降低，因此Lq逐漸增大；但是id持續(xù)增加，使d軸磁場(chǎng)反向增大后，dq耦合磁路的磁力線增加，q軸飽和程度增加，Lq逐漸減小。

（2）id=0，iq=0~10A

當(dāng)只通入q軸電流時(shí)，d、q軸的各項(xiàng)參數(shù)變化如下：

①永磁磁鏈：由于dq磁路耦合，隨著iq增加，耦合磁路的磁力線增加，d軸飽和程度增加，導(dǎo)致永磁體產(chǎn)生的磁力線匝鏈定子繞組的數(shù)量減少，因此永磁磁鏈逐漸減小。

②q軸磁鏈：隨著iq增加，q軸磁鏈的變化趨勢(shì)與硅鋼片B-H曲線相似，斜率先增加后減小，最終達(dá)到飽和。

③d軸電感Ld：由于dq磁路耦合，隨著iq增加，d軸磁路最終會(huì)達(dá)到飽和，但這個(gè)過程中，根據(jù)不同硅鋼片B-H曲線斜率的不同以及加載電流前硅鋼片工作點(diǎn)的不同，可能會(huì)出現(xiàn)磁導(dǎo)率先增加后減小的情況，此時(shí)，Ld會(huì)先增加后減小；也可能會(huì)出現(xiàn)磁導(dǎo)率一直減小的情況，此時(shí)，Ld會(huì)一直減小。

④q軸電感Lq：隨著iq增加，硅鋼片B-H曲線斜率（磁導(dǎo)率）先增加后減小，因此Lq先增加后減小。

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